Prozentuale Steigerung berechnen: zwei Werte genügen, mit Wachstum und Inflation

Prozentuale Steigerung berechnen: Was der Rechner löst

Mein Arbeitstag besteht aus Vorher-nachher-Zahlen: der letzte Monat gegen diesen, die alte Preisliste gegen die neue, das alte Gehalt gegen das Angebot. Der Rechner für die prozentuale Erhöhung arbeitet so, wie ich solche Zahlen von Hand prüfe. Tragen Sie zwei von Ausgangswert, neuem Wert und Prozent ein, und er findet den dritten. Ein einziges Feld beantwortet also „Wie viel ist es gestiegen?“, „Was sind 120 plus 15 %?“ und „Was kostete es vor der Erhöhung?“, jeweils mit den Rechenschritten, der absoluten Änderung, dem Faktor und der Änderung, die nötig ist, um zurückzukommen.

Die Extras, die ich am häufigsten brauche, stehen darunter: ein Zeitraum in Jahren, Quartalen oder Monaten für die Zinseszins-Rate pro Periode mit Wachstumsdiagramm und Tabelle, ein Inflationsfeld für die reale Änderung, ein Modus für aufeinanderfolgende Änderungen und ein Schalter für den Fall, dass beide Zahlen Prozentsätze sind. Der Rechner versteht Dezimalkommas (2,5 und 1.234,56) und eingefügte Währungszeichen, zeigt, wie er ein Trennzeichen gelesen hat, und geht mit negativen Ausgangswerten und mit null um, ohne eine Antwort zu erfinden. Jeder Wert hat eine Kopier-Schaltfläche, und „Zurücksetzen“ lässt sich rückgängig machen.

So berechnen Sie eine prozentuale Steigerung

1. Zuerst die Basis notieren. Die Basis ist der Wert, von dem Sie ausgehen, der alte. Alles wird an ihr gemessen.
2. Subtrahieren: neu − Ausgangswert ergibt die absolute Änderung.
3. Durch den Ausgangswert teilen, nie durch den neuen Wert, und mit 100 multiplizieren.
4. Rückwärts prüfen: Ausgangswert × (1 + Prozent ÷ 100) muss wieder den neuen Wert ergeben.

Gehalt 52.000 → 55.120: 3.120 ÷ 52.000 = 0,06, also eine Erhöhung um +6 %; rückwärts 52.000 × 1,06 = 55.120. Ein Stundenlohn von 18,50 auf 19,75 sind 1,25 ÷ 18,50 = +6,7568 %. Ein Preis von 2,99 auf 3,49 sind 0,50 ÷ 2,99 = +16,72 %, und eine Miete von 1.450 auf 1.595 sind 145 ÷ 1.450 = genau +10 %.

Der klassische Fehler ist, durch den neuen Wert zu teilen: 80 → 100 sind 20 ÷ 80 = +25 %, nicht 20 ÷ 100 = 20 %. Und ja, eine Steigerung kann über 100 % liegen: 250 → 1.000 sind 750 ÷ 250 = +300 %, weil der neue Wert das Vierfache des alten ist (der Faktor ×4 entspricht +300 %, nicht +400 %).

Prozentuale Abnahme, und warum −20 % zum Zurückkommen +25 % braucht

Eine Abnahme folgt derselben Formel mit negativem Ergebnis. 100 → 80 sind −20 ÷ 100 = −20 %. Der Weg zurück beginnt bei 80, einer kleineren Basis, und dieselben 20 sind dort 20 ÷ 80 = +25 %.

Die Regel hinter der Tabelle: nötige Steigerung = Rückgang ÷ (1 − Rückgang). Für −15 % sind das 0,15 ÷ 0,85 = 17,65 %.

Den Ausgangswert vor einer Erhöhung finden

Ein Regalpreis beträgt 64,80 nach einer Erhöhung um 8 %. Was kostete es vorher? Teilen, nicht abziehen: 64,80 ÷ 1,08 = 60,00. Zieht man 8 % von 64,80 ab, kommt 59,62 heraus, und das ist falsch, weil die 8 % vom alten Preis berechnet wurden, nicht von 64,80. Genauso bei 138 nach +15 %: 138 ÷ 1,15 = 120, nicht 117,30. Der Rechner probiert auch einen negativen Ausgangswert: 30 nach +200 % waren vorher 10, und er weist darauf hin, dass auch −30 wieder bei 30 landen würde. Bei einem Rabatt liegt der Teiler unter 1: Ein Preis von 44 nach 10 % Rabatt war 44 ÷ 0,90 = 48,89, das Beispiel, das auch die Prozentseite von Omni verwendet. Mehr Beispiele aus dem Laden: der Ratgeber zur Preiserhöhung.

Mehrere Änderungen hintereinander: multiplizieren, nie addieren

Aufeinanderfolgende Prozentwerte wirken zusammen, also machen Sie aus jedem einen Faktor und multiplizieren:

• +10 % und dann −10 %: 1,10 × 0,90 = 0,99, also insgesamt −1 %, nicht null.
• +5 %, +3 %, −2 %: 1,05 × 1,03 × 0,98 = 1,05987, also +5,987 %, nicht +6 %.
• 50 mit +20 % und dann −20 %: 50 → 60 → 48, insgesamt −4 %.

Drei Erhöhungen um 3 %, 4 % und 2 % sind 1,03 × 1,04 × 1,02 − 1 = +9,26 %, niemals pauschal 9 %.

Wachstum über mehrere Jahre: die durchschnittliche jährliche Wachstumsrate (CAGR), nicht der einfache Durchschnitt

Eine Gesamtveränderung über mehrere Perioden sagt nichts über das Tempo pro Jahr, solange Sie nicht die Wurzel ziehen. Die durchschnittliche jährliche Wachstumsrate (CAGR) ist die gleichmäßige Rate, die vom Start zum Ende führt:

Ein Umsatz von 240.000 auf 410.000 in 5 Jahren ist insgesamt +70,83 %. Teilt man durch fünf, erhält man 14,17 % pro Jahr, und das ist zu hoch: 240.000 mit 14,17 % fünf Jahre lang gesteigert enden bei etwa 465.487. Die echte Zinseszins-Rate ist (410.000 ÷ 240.000)^(1/5) − 1 = 11,30 % pro Jahr, und der Verlauf lautet 240.000 · 267.131,91 · 297.331,07 · 330.944,23 · 368.357,34 · 410.000. Der kleinere Lehrbuchfall: 100 → 150 in 3 Jahren sind 14,47 % pro Jahr, nicht 16,67 %.

Mit Monaten geht es genauso: 1.200 → 1.500 in 12 Monaten sind insgesamt +25 % und 1,8769 % pro Monat mit Zinseszins. Die CAGR glättet die Ausschläge; sie beschreibt die Vergangenheit und ist keine Prognose. Der CAGR-Ratgeber erklärt die Umrechnung von Monats- in Jahreswerte.

Gehaltserhöhung und Preise gegen die Inflation

Eine Erhöhung ist nominal; was man dafür bekommt, hängt von den Preisen ab. Für die reale Änderung wird geteilt, nicht subtrahiert:

Die Erhöhung von 52.000 auf 55.120 (+6 %) gegen 2,9 % Inflation ist 1,06 ÷ 1,029 − 1 = +3,01 % real. Um nur mitzuhalten, hätte es 52.000 × 1,029 = 53.508 sein müssen; die Erhöhung liegt also 1.612 über dieser Linie, und der Rechner zeigt diesen Abstand samt Urteil. Eine Erhöhung um 4 % bei 3 % Inflation ist 1,04 ÷ 1,03 − 1 = 0,97 %, nahe an dem 1 %, das die Subtraktion liefert, aber nicht gleich, und der Abstand wächst mit den Zahlen. Ein Preis, der um 10 % steigt, während die Verbraucherpreise um 3 % steigen, ist real um 1,10 ÷ 1,03 − 1 = 6,80 % gestiegen.

Eine Inflationszahl ist selbst eine prozentuale Änderung eines Preisindex. In der BLS-Übung „My dollar is worth what?“ steigt der CPI-U von 141,8 auf 244,955, ein Anstieg des Preisniveaus um +72,75 %, sodass man für 5,00 später bekommt, was 8,64 kostet. Nehmen Sie für beide Werte dieselbe CPI-Reihe; der Rechner verwendet nur die Rate, die Sie eintippen. Das eigene Gehalt, Schritt für Schritt: der Ratgeber zur Gehaltserhöhung.

Prozent, Prozentpunkte und prozentualer Unterschied

Sind beide Zahlen Prozentsätze, geben Sie die Änderung auf zwei Arten an. Ein Zinssatz von 3,5 % auf 4,25 % ist um 0,75 Prozentpunkte gestiegen (einfache Subtraktion) und um 21,43 % im Verhältnis zum Ausgangswert. Das Beispiel aus Wikipedia: 40 % → 44 % sind +4 Prozentpunkte, aber eine Steigerung um 10 %. Schreiben Sie „PP“ oder „Prozentpunkte“, um beides auseinanderzuhalten; der Schalter für Prozentsätze zeigt beides.

Der prozentuale Unterschied ist ein drittes Maß für zwei Werte ohne Vorher und Nachher, etwa zwei Angebote: |a − b| ÷ ((a + b) ÷ 2) × 100. Für 80 und 100 sind das 22,22 %, während 80 → 100 +25 % und 100 → 80 −20 % sind. Die Quellen unterscheiden sich beim Nenner, wie dieser Vergleich festhält; nennen Sie also die Variante, die Sie benutzt haben. Alle drei nebeneinander: prozentuale Änderung und prozentualer Unterschied.

Prozentuale Änderung in Excel und Google Sheets

Es gibt keine Funktion für die prozentuale Änderung. Die Formel von Microsoft in KB 214078 setzt den alten Wert in A2 und den neuen in B2:

• Prozentuale Änderung: =(B2-A2)/ABS(A2), dann die Zelle als Prozent formatieren. Für positive Werte liefert =B2/A2-1 dasselbe; 100.000 → 175.000 zeigt 75 %.
• Neuer Wert nach einem Prozentsatz in C2 (als 15 % eingegeben): =A2*(1+C2).
• Ausgangswert vor der Erhöhung: =B2/(1+C2).
• CAGR über N Perioden in D2: =(B2/A2)^(1/D2)-1.

Google Sheets akzeptiert dieselben Formeln; die Prozentseite von Microsoft behandelt die Zellformatierung.

Negative Zahlen und null

Bei einem negativen Ausgangswert dreht die einfache Formel das Vorzeichen um: −10 → −6 ist ein Anstieg, doch 4 ÷ (−10) ergibt −40 %. Teilt man durch den Betrag, erhält man +40 %; das ist die Konvention der Seite von Omni zur relativen Änderung und von ABS in der Excel-Formel. Der Rechner wendet sie in beide Richtungen an: −50 → −25 sind +50 %, und −50 mit +50 % ergibt −25. Von null aus gibt es keinen Prozentwert: 0 → 50 ist eine Änderung um +50, aber Wachstum aus dem Nichts hat kein Prozent, und der Rechner sagt das, statt „unendlich“ auszugeben.

Formeln, Rundung und die Fälle, gegen die ich teste

Jede Antwort nutzt die obigen Formeln: Änderung geteilt durch |Ausgangswert|, Faktoren für aufeinanderfolgende Änderungen, die Wurzel für die CAGR, Division für die reale Änderung. Gerundet wird erst bei der Anzeige, die bis zu zehn signifikante Stellen behält, sodass ein winziger Wert nie als 0 erscheint. Währungszeichen und ein abschließendes % werden entfernt, und ein Komma wird nach der Seitensprache gelesen (1,200 sind auf der englischen Seite zwölfhundert, 2,5 sind auf der deutschen zweieinhalb); ein kleiner Hinweis „gelesen als“ unter dem Feld zeigt, wie ein Trennzeichen verstanden wurde. Diese Fälle sind unabhängig neu berechnet und laufen nach jeder Änderung gegen den Rechner.

Alles läuft in Ihrem Browser; nichts, was Sie eintippen, wird irgendwohin gesendet.